求函数极值和单调性y=x+|sin2x|在[kp/2+p/3,kp/2+p/2]单调下降在[kp/2,kp/2+p/3]单调增加这里p表示π
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 16:55:18
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求函数极值和单调性y=x+|sin2x|在[kp/2+p/3,kp/2+p/2]单调下降在[kp/2,kp/2+p/3]单调增加这里p表示π
求函数极值和单调性
y=x+|sin2x|
在[kp/2+p/3,kp/2+p/2]单调下降
在[kp/2,kp/2+p/3]单调增加
这里p表示π
求函数极值和单调性y=x+|sin2x|在[kp/2+p/3,kp/2+p/2]单调下降在[kp/2,kp/2+p/3]单调增加这里p表示π
用数形结合法即可轻易地解答这个问题
函数:y=x+|sin2x|的图形可以看作是:y=x与y=|sin2x|的叠加
y=x的图像非常简单,是一条直线
把函数y=sinx图像横坐标缩小到原来的1/2,即可得到函数y=sin2x的图像
把函数y=sin2x的图像的x轴下面的部分翻转到x轴上方,
即可得到函数y=|sin2x|的图像,它的周期是:2π/2/2=π/2
y=x与y=|sin2x|的叠加之后就是函数y=x+|sin2x|的图像
y=x+|sin2x|图像就是沿着直线y=x向上爬升的曲线y=|sin2x|,且,它的图像位于直线y=x的上方
画出y=x+|sin2x|的草图,
从图上可以看出,在每个区间[kπ/2,kπ/2+π/2],函数曲线有着相同的单调性
令k=0,研究区间[0,π/2]函数的单调性
在区间[0,π/2],2x∈[0,π],sin2x>0,函数可化为y=x+sin2x
y′=1+2cos2x, 令y′=0,得,cos2x=-1/2, x∈[0,π/2],2x∈[0,π]
所以,2x=2π/3,x=π/3,从图像显见,在x=0,x=π/2处函数取得极小值,在x=π/3处函数取得极大值
所以,在区间[0,π/2],x∈[0,π/3]时,函数单调增,x∈[π/3,π/2]时,函数单调减
在整个定义域,在x=kπ/2,x=π/2+kπ/2处函数取得极小值,在x=π/3+kπ/2处函数取得极大值,x∈[kπ/2,π/3+kπ/2]时,函数单调增,x∈[π/3+kπ/2,π/2+kπ/2]时,函数单调减
可先求导
在令导数为零从而求出其单调性