做题时图上画得有点乱,请按参考题文字看原始的图看才对,抱歉啊.

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第一问你辅助线已经做对了
取PA的中点E,连接FE、DE,
PE=EA PF=FB 有 EF∥AB
PD⊥底面ABCD AB∈底面ABCD
有 PD⊥AB
AB⊥AD PD∩AD=D
所以AB⊥平面PAD
而EF∥AB 有 EF⊥平面PAD
PD=DC=DA PE=EA
有DE⊥ PA
DE为DF在平面PAD上的射影 DF为斜线
所以 DF⊥AP

第二问你辅助线也是对的
取AD的中点G,BD的中点O,连接EG、GO、GF
PE=EA DG=GA 有EG∥PD
而 PD⊥AD 有AD⊥EG
同理 AD⊥OG
OG∩EG=G
所以AD⊥平面GOFE
而BC∥AD
所以BC⊥平面GOFE GF∈平面GOFE
BC⊥GF

AG=DG AB=DC=PD ∠A=∠PDG=90°
所以BG=PG PF=FB
有GF⊥PB
又GF⊥BC PB交BC=B
所以GF⊥平面PBC

1.取AB的中点E，并连接EF。
因为E、F分别为PB、AB的中点，则在三角形PAB中，PA平行于EF
所以，在异空间四边形ADEF中：三角形ADE与三角形FED相似
既∠ADE=∠FED,∠AED=∠FDE,∠DAE=∠EFD
又底面ABCD为正方形，那么∠DAE=90°
所以∠EFD=90°
则EF⊥DF

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1.取AB的中点E，并连接EF。
因为E、F分别为PB、AB的中点，则在三角形PAB中，PA平行于EF
所以，在异空间四边形ADEF中：三角形ADE与三角形FED相似
既∠ADE=∠FED,∠AED=∠FDE,∠DAE=∠EFD
又底面ABCD为正方形，那么∠DAE=90°
所以∠EFD=90°
则EF⊥DF
因为EF∥AP
所以DF⊥AP
2.存在

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（1）找AB中点E，连接EF、DE。设AD=2a，那么DE=（根号下5）*a，EF=（根号下2）*a，BD=（根号下2）*2a，DF=（根号下3）*a （在直角三角形PDB中求得）
在三角形 DEF 中，由勾股定理，有 DF 与 EF 垂直，又因为 EF 与 PA 平行，所以 DF 与 PA 垂直。得证。
（2）存在。（依然沿用设AD=...

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（1）找AB中点E，连接EF、DE。设AD=2a，那么DE=（根号下5）*a，EF=（根号下2）*a，BD=（根号下2）*2a，DF=（根号下3）*a （在直角三角形PDB中求得）
在三角形 DEF 中，由勾股定理，有 DF 与 EF 垂直，又因为 EF 与 PA 平行，所以 DF 与 PA 垂直。得证。
（2）存在。（依然沿用设AD=2a）在三角形PAB中，可求得AF=（根号下3）*a=DF
设AG= x * a，使得GF与PB垂直。那么DG=（2 - x）* a，分别在三角形PDG中和三角形ABG中表示出（PG^2）和（BG^2）,再令（PG^2）=（BG^2），可求得 x
求得 x=1 ，即G为AD中点。
下面证明GF与BC垂直。因为G为AD中点，又有 AF=（根号下3）*a=DF，所以有GF与AD垂直，所以有GF与BC垂直。
GF与PB垂直，又有GF与BC垂直，所以GF与面PBC垂直。
所以存在这样的G点，G点位于AD的中点。

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做PA上的中点I，则由于PD=PA,角PDA为直角，所以DI垂直于PA，IF为三角形PAB中位线，所以IF平行于AB,AB垂直于AD与PD所以，AB垂直于面PDA，所以AB垂直于PA，所以IF垂直于PA。由于ID垂直于PA，所以PA垂直于面IFD，所以PA垂直于DF

证明
1，找出AP的中点E，连接EF
∵△ABP是直角三角形，(由勾股定理可以证明)，△APD是等腰直角三角形，EF是△PAB的中位线
∴ED⊥AP，∩PEF=90
∴直线PA⊥平面EFD
∴DF⊥AP
2，找出AD的中点G，连接GF，过F分别作BC,PD的平行线，FH,FI，交PC,BD于点H,I，连接GI,DH
GB
∵I是DB的...

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证明
1，找出AP的中点E，连接EF
∵△ABP是直角三角形，(由勾股定理可以证明)，△APD是等腰直角三角形，EF是△PAB的中位线
∴ED⊥AP，∩PEF=90
∴直线PA⊥平面EFD
∴DF⊥AP
2，找出AD的中点G，连接GF，过F分别作BC,PD的平行线，FH,FI，交PC,BD于点H,I，连接GI,DH
GB
∵I是DB的中点
∴GI=FI=0.5PD=0.5AB
∵△GFI是直角三角形
∴GF²=2GI²=AB² ∕ 2
∵GB²=AG²﹢AB²=5AB ²∕ 4，FB²=PB ²∕ 4=3AB² ∕ 4，
∴GB²=GF²﹢FB²
∴△GFB是直角三角形，即PB⊥GF
∵FH∥BC∥AD，DG=FH
∴四边形GDFH是平行四边形
∵DF²=FB²=3AB ² ∕ 4
∴DG²﹢GF²=(AB² ∕ 4)﹢(AB² ∕ 2)=3AB² ∕ 4=DF²
∴△DGF是直角三角形
∴四边形DGFH是矩形，即FG⊥FH
∴GF⊥PB⊥FH
∴GF⊥平面PBC
作题目太辛苦，望采纳

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