“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么除了用导数还有别的办法么(初中水平)Tanks!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/15 04:41:29
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“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么除了用导数还有别的办法么(初中水平)Tanks!
“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么
除了用导数还有别的办法么(初中水平)Tanks!
“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么除了用导数还有别的办法么(初中水平)Tanks!
令正方形ABCD的对角线交点为E.不失一般性地设AB=a,ME=x.易知:BM=√2a/2-x.
由勾股定理,有:AM=√(AE^2+ME^2)=√[(√2a/2)^2+x^2].
由对称图形的性质,得:CM=AM.
设y=AM+BM+CM=2√[(√2a/2)^2+x^2]+√2a/2-x
∴x+y-√2a/2=2√[(√2a)^2+x^2]
两边平方,得:x^2+y^2+a^2/2+2xy-√2ax-√2ay=4[(√2a/2)^2+x^2]
∴3x^2+(√2a-2y)x+3a^2/2+√2ay-y^2=0
将这个等式看成是关于x的一元二次方程,要确保x为实数,必需要它的判别式不小于0,
即:(√2a-2y)^2-4×3(3a^2/2+√2ay-y^2)≥0
∴2a^2-4√2ay+4y^2-18a^2-12√2ay+12y^2≥0
∴y^2-√2ay-a^2≥0,∴(y-√2a/2)^2≥3a^2/2
∴y-√2a/2≥√6a/2,或y-√2a/2≤-√6a/2
∴y≥√2a/2+√6a/2,或y≤√2a/2-√6a/2
y显然是大于0的,∴y≥√2a/2+√6a/2,即y的最小值是√2a/2+√6a/2.
当y取最小值时,就有:2√[(√2a/2)^2+x^2]+√2a/2-x=√2a/2+√6a/2
∴2√[(√2a/2)^2+x^2]=x+√6a/2
两边平方,得:4[(√2a/2)^2+x^2]=x^2+√6ax+3a^2/2
∴3x^2-√6ax+a^2/2=0,∴6x^2-2√6ax+a^2=0,∴(√6x-a)^2=0,∴√6x=a
∴x=√6a/6.
∴此时有:BM=BE-ME=√2a/2-x=(3√2-√6)a/6.
即:当BM的距离为正方形边长的(3√2-√6)/6时,AM+BM+CM最小.
既然你找到我这里了,那就做一下,希望能够有帮助:
不用求导,观察一下就能做出来:
先设正方形边长是1
M在B点时,AM+BM+CM=2
M在BD中点时:AM+BM+CM=(3/2)√2 >2
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当M从B点向BD中点移动时,AM和CM会变小,而BM增大。
设∠BAM=α,所以∠AMD=α+45°
当M沿BD向D方向移动很小一...
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既然你找到我这里了,那就做一下,希望能够有帮助:
不用求导,观察一下就能做出来:
先设正方形边长是1
M在B点时,AM+BM+CM=2
M在BD中点时:AM+BM+CM=(3/2)√2 >2
------
当M从B点向BD中点移动时,AM和CM会变小,而BM增大。
设∠BAM=α,所以∠AMD=α+45°
当M沿BD向D方向移动很小一段距离x到M'点时,BM增大了x
过M'作AM的垂线交AM于N,在△NMM'中:MM'=x,所以NM=cos(α+45°) x
由于x很小,MM'/AM' ≈0 ,∠MAM' ≈0° ,所以 AM'≈AN
AM-AM'=NM 就是说AM减小了cos(α+45°)x
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由于AM=CM,当2cos(α+45°)=1 时,AM+CM减小长度的与BM增大长度相同
这时α=15° ,就是∠BAM=15° 时AM+BM+CM最小。
ctg15° =2+√3 由此可以算出这个最小值
收起
M不在BD的中点,
这题有点难度,你的数学水平怎样。
如只有一般不学也没关系,因讲清楚比较难,
如成绩还可以,我给你提示(初中)。