作业帮已知三角形ABC的面积为s,已知向量AB*BC=2,若s=3/4向量AB,求向量AC的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:11:23
已知三角形ABC的面积为s,已知向量AB*BC=2,若s=3/4向量AB,求向量AC的最小值
已知三角形ABC的面积为s,已知向量AB*BC=2,若s=3/4向量AB,求向量AC的最小值
已知三角形ABC的面积为s,已知向量AB*BC=2,若s=3/4向量AB,求向量AC的最小值
【解】
s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|,
∴|BC|sinB=3/2,
∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB
将|BC|=3/(2 sinB)代入得
2=(-3/2)|AB|cosB/ sinB,
|AB|=(-4/3)tanB,由此可知∠B为钝角.
由余弦定理,AC^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC| cosB
=9/(2sinB)^2+(16/9)(tanB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)tanB*cosB
=(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(tanB)^2+4
【∵1/(sinB)^2=[(sinB)^2+(cosB)^2]/(sinB)^2
=(sinB)^2/(sinB)^2+(cosB)^2/(sinB)^2
=1+1/(tanB)^2,代入上式】
上式=(9/4)*[ 1+1/(tanB)^2] +(16/9)(tanB)^2+4
=(9/4)/(tanB)^2+(16/9)(tanB)^2+4+9/4……利用基本不等式
≥2√[(9/4)/(tanB)^2*(16/9)(tanB)^2] +4+9/4
=4+4+9/4=41/4.
∴|AC|≥√41/2.
当(9/4)/(tanB)^2=(16/9)(tanB)^2时取到等号.
此时tanB=-3√2/4.
s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|，
∴|BC|sinB=3/2,
∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB=(-3/2)|AB|cotB,
|AB|=(-4/3)cotB,
由余弦定理，AC^2=9/(2sinB)^2+(16/9)(cotB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)cotB*cosB
=(9/4)/(si...
全部展开
s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|，
∴|BC|sinB=3/2,
∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB=(-3/2)|AB|cotB,
|AB|=(-4/3)cotB,
由余弦定理，AC^2=9/(2sinB)^2+(16/9)(cotB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)cotB*cosB
=(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(cotB)^2+4(cosB)^2
=(9/4+16/9)/(sinB)^2-16/9+4-4(sinB)^2,
当sinB=1时AC^2取最小值9/4，
|AC|的最小值=3/2.
收起
因为s=3/4|AB|=1/2|AB||AC|sinA，所以|AC|sinA=3/2，因为sinA≤1，所以当sinA=1，即∠A=90°时，|AC|最小=3/2