作业帮在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E ,求证三角形ABD是等腰三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 17:18:45
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E ,求证三角形ABD是等腰三角形
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E ,
求证三角形ABD是等腰三角形
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E ,求证三角形ABD是等腰三角形
⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形．
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC：FE=CD：AF
∴AC•AF= CD •FE
而CD=DF,
∴AC•AF=DF•FE
F为弧AD上一点，BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E ,你的题目交代这么热闹，又是F又是E的,求证怎么没有它们的事儿？？？？？？？？？？？！！！！！！！！！！！！是不是错了！！！！！！！！！！！
由题可知：∠mcd=∠dca,∠cdb=∠cab,∠cbd=∠cad
因为∠cbd+∠cdb=∠mcd=∠dca
∠cab+∠cad=∠dca
所以∠dca=∠dba
所以∠dba=∠dab
所以△abd是等腰三角形
证明：由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA，
又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBA即△．
ABD为等腰三角形．
∵∠DCB+∠DAB+180° ∴∠MCD=∠BAD ∵∠DBA=∠DCA=∠MCD ∴∠DBA=∠DAB ∴三角形ABD是等腰三角形.