如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.(1)求证:PC垂直AB(2)求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 17:56:25
![如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.(1)求证:PC垂直AB(2)求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,](/uploads/image/z/3717833-41-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93P-ABC%E4%B8%AD%2CPA%E5%9E%82%E7%9B%B4BC%2CPB%E5%9E%82%E7%9B%B4AC%2CBC%3Da%2CPB%3DPC%2CP-BC-A%E6%98%AF60%E5%BA%A6%E7%9A%84%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APC%E5%9E%82%E7%9B%B4AB%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93P-ABC%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF+%E7%AC%AC1%E9%97%AE%E9%BA%BB%E7%83%A6%E8%AF%A6%E7%BB%86%E7%82%B9%2C)
如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.(1)求证:PC垂直AB(2)求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.
(1)求证:PC垂直AB
(2)求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.(1)求证:PC垂直AB(2)求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
1、在平面ABC内作AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足,二高交于H,连结CH,交AB于F,则H是△ABC的垂心,CF⊥AB,连结PH,
∵PA⊥BC,AD⊥BC,AD∩PA=A,
∴BC⊥平面PAD,
∵PH∈平面PAD,
∴BC⊥PH,
同理AC⊥PH,
∵AC∩BC=C,
∴PH⊥平面ABC,
∵AB∈平面ABC,
∴PH⊥AB,
∵H是垂心,
∴CF⊥AB,
根据三垂线定理,
∴PC⊥AB.
(或者说明AB⊥平面PFC,PC∈平面,故AB⊥PC).
2、还差一个条件.
(2)作AD⊥BC于D,
因为PA⊥BC,PB=PC,所以AB=AC,所以BD=CD,∠ADP=60°(二面角的度数)
在⊿PAD中,作PO⊥AD于O,易证PO即为高!
延长CO交AB于E,因为PC⊥AB,所以AB⊥面PCE,
所以CE⊥AB,⊿CDO∽⊿ADB,AD:BD=CD:OD,
AD=BD×CD÷OD(!)
Rt⊿POD中,PO=√3OD<...
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(2)作AD⊥BC于D,
因为PA⊥BC,PB=PC,所以AB=AC,所以BD=CD,∠ADP=60°(二面角的度数)
在⊿PAD中,作PO⊥AD于O,易证PO即为高!
延长CO交AB于E,因为PC⊥AB,所以AB⊥面PCE,
所以CE⊥AB,⊿CDO∽⊿ADB,AD:BD=CD:OD,
AD=BD×CD÷OD(!)
Rt⊿POD中,PO=√3OD
四面体P-ABC的体积
V=1/3×(1/2AD×BC)×PO
=1/3×1/2×(a/2)×(a/2)×a÷OD×√3OD
=√3a³/24。
结论:①本题中PO是不确定的,但体积与PO的大小无关。
②⊿PAD形状虽不定,但面积确定,亦可通过V=1/3×BC×S⊿pad的思路来求。
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