作业帮已知X0,Xn=aXn-1+b,求数列通项公式Xn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 03:26:56
已知X0,Xn=aXn-1+b,求数列通项公式Xn
已知X0,Xn=aXn-1+b,求数列通项公式Xn
已知X0,Xn=aXn-1+b,求数列通项公式Xn
假设Xn+k=a[X(n-1)+k]
Xn+k=aX(n-1)+ak
Xn=aX(n-1)+ak-k
与Xn=aX(n-1)+b比较可得
ak-k=b,k=b/(a-1)
所以Xn+[b/(a-1)]=a[X(n-1)+(b/(a-1))]
数列{Xn+b/(a-1)}是公比为a的等比数列,首项是X0+[b/(a-1)]
所以其通项Xn+[b/(a-1)]=[X0+b/(a-1)]a^(n-1)－－（^表示乘方,即a的n-1次方）
Xn={[X0+b/(a-1)]a^(n-1)}-[b/(a-1)]
Xn=aX
< > 内表示 下角标
设 Xn + m = a[X
通过对比, 求出
am - m = b
m = b/(a-1)
Xn + b/(a-1) = a[X
Xn + b/(a-1) 是等比数列, 公比为a
Xn + b/(a-1) = [X0 + b/(a-1)] * a^n
Xn = [X0 + b/(a-1)] * a^n - b/(a-1)
待定系数法或特征根法.
这里用第一种吧.
求c使Xn+c=a(Xn-1+c)
即（a-1）c=b
c=b/(a-1)
得到Xn+c为一个等比数列，公比为a,
求出这个等比数列的通项
Xn+c,然后知Xn的通项.
原式： Xn=aXn-1+b 移向得： Xn-aXn=b-1 提取公因式： (1-a)Xn=b-1 所以： Xn=b-1/1-a