证明：每一个简单多面体至少有两个面有相同数量的边,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 12:31:08

证明：每一个简单多面体至少有两个面有相同数量的边,
证明：每一个简单多面体至少有两个面有相同数量的边,

证明：每一个简单多面体至少有两个面有相同数量的边,
这道题可以用反证法：
首先引用欧拉公式：V+F=E+2 …………①
其中V是顶点(Vertex)数,F是面(Face)数,E是边(Edge)数.
假设每个面的边数不同,所有面的边数至少应为3,4,5,...,F+2 (一共F个面)
而每条边都恰好被两个面所共有,那么边数至少应为 [3+4+5+...+(F+2)] / 2
即 E ≥ [3+4+5+...+(F+2)] / 2 …………②
再看顶点,每条边都有两个顶点,而每个顶点都至少被3条边共用
于是：V ≤ 2*E / 3 …………③
把③代入①：E+2 = V+F ≤ F + 2*E / 3 …………④
整理可得：E /3 +2 ≤ F …………⑤
将②代入⑤并整理,得：6F ≥ [3+4+5+...+(F+2)] +12 = (F+5)*F/ 2 +12
再整理得：F² - 7F + 24 ≤ 0 …………⑥
而 F² - 7F + 24 对任意实数F都大于0 (一个简单的二次函数而已,算下判别式即可),更别说在多面体中 F ≥ 4 ,所以⑥显然不成立,也就引出了矛盾,即原题得证
（#）
这里要补充一句,由推到过程发现这道题的矛盾非常大,我是指⑥的左边放得比较大,在R上恒正,所以题目的条件还是比较宽松的,在很多情况下甚至会有多个面的边数相同,或是多组相同边数的面

证明：每一个简单多面体至少有两个面有相同数量的边证明：每一个简单多面体至少有两个面有相同数量的边, 试证明:任何一个简单多面体至少有四个面请用完整严密理论证明证明：简单多面体的每个面都是有奇数个边的多边形,则此多面体的棱数一定是偶数. 怎样证明在N个顶点的简单无向图中至少有两个顶点的度数相同对于空间多面体,“多面体中有两个面是互相平行的三角形,其余各面都是平行四边形”是“多面体为棱柱”的（）条件简单多面体的顶点数V,面数F,棱数E之间有关系v+f-e=2,这就是著名的欧拉公式.若一个简单的多面体的每一个面都是三角形,利用欧拉公式来判断f=2v-4成立么?若成立,请说明理由,若不成立,请举出反有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的凸多面体,这句话对吗? 一个简单的多面体的外表面全部是由三角形拼接而成,且有6个顶点,求这个多面体的面数凸多面体至少有一个面是三,四或者五边形,怎么证明? 1．证明在具有n个顶点的简单无向图G中,至少有两个顶点的度数相同. 任意八个正整数,每一个都用7来除,其中至少有两个余数相同.请说明你的理由. 任意8个正整数,每一个都用7来除,其中至少有两个余数相同请说明理由任意8个正整数每一个用7来除,其中至少有两个余数相同.请说明理由 12个面的立体图形.是否有这样的十二面体：每一个面都是三角形,并且多面体的每一个顶点都是四个三角形的顶点?并请说明理由满足多面体欧拉公式的是不是都是简单多面体?我们知道欧拉定理,即简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2.那么反过来,满足欧拉公式的多面体是否都是简单多面体呢?已经找到反有一个多面体,它有36个顶点,有二十个面,问这个多面体是几面体一个长方体至少有两个面相等,