作业帮高中数学 函数 求最值问题已知函数f（x）=x²+2x+a/x,x属于[1,正无穷）.当a=1/2时,求函数f（x）的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 06:01:26
高中数学 函数 求最值问题已知函数f（x）=x²+2x+a/x,x属于[1,正无穷）.当a=1/2时,求函数f（x）的最小值.
高中数学 函数 求最值问题
已知函数f（x）=x²+2x+a/x,x属于[1,正无穷）.
当a=1/2时,求函数f（x）的最小值.
高中数学 函数 求最值问题已知函数f（x）=x²+2x+a/x,x属于[1,正无穷）.当a=1/2时,求函数f（x）的最小值.
答：
a=1/2,f(x)=x^2+2x+a/x=x^2+2x+1/(2x),x>=1
求导：f'(x)=2x+2-1/(2x^2)>0
所以：f(x)在定义域内是增函数
所以：x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1+2+1/2=7/2
a=1/2,f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+2+1/(2x)>=2+2√(1/2)=2+√2
当且仅当x=1/(2x)即x=√2/2时取得最小值
所以：x>√2/2时f(x)是增函数
所以：x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1+2+1/2=7/2
方法一求导
方法二配方求最值
你好，f(x)=x²+2x+1/2x，这个函数可以看做是由g(x)=x²与h(x)=2x+1/2x所构成的，而这两个函数在[1，正无穷）均为增函数，所以其和函数即f(x)也是增函数，所以其最小值就是f(1)=7/2。当是为什么h(x)=2x+1/2x在[1，正无穷）为增函数？2x是增，但1/2x是减函数啊 增+减=？。。。对于函数f(x)=ax+b/x（a>0，b>0），当x>...
全部展开
你好，f(x)=x²+2x+1/2x，这个函数可以看做是由g(x)=x²与h(x)=2x+1/2x所构成的，而这两个函数在[1，正无穷）均为增函数，所以其和函数即f(x)也是增函数，所以其最小值就是f(1)=7/2。
收起
